20. Тип 20 № 472412 i Решите неравенство (8-x)(x²-64) ≥ 0.

Решение:

Решим неравенство \( (8-x)(x^2-64) \ge 0 \).

Сначала найдем корни уравнения \( (8-x)(x^2-64) = 0 \).

\( x^2 - 64 = (x-8)(x+8) \).

Тогда исходное уравнение примет вид: \( (8-x)(x-8)(x+8) = 0 \).

\( -(x-8)(x-8)(x+8) = 0 \).

\( -(x-8)^2(x+8) = 0 \).

Корни уравнения:

• \( x - 8 = 0 → x = 8 \) (этот корень имеет кратность 2).
• \( x + 8 = 0 → x = -8 \).

Теперь определим знаки выражения \( -(x-8)^2(x+8) \) на интервалах, образованных корнями -8 и 8.

Интервал 1: x < -8

Возьмем, например, \( x = -10 \).

\( -(-10-8)^2(-10+8) = -(-18)^2(-2) = -(324)(-2) = 648 \). Выражение положительно (\( > 0 \)).

Интервал 2: -8 < x < 8

Возьмем, например, \( x = 0 \).

\( -(0-8)^2(0+8) = -(-8)^2(8) = -(64)(8) = -512 \). Выражение отрицательно (\( < 0 \)).

Интервал 3: x > 8

Возьмем, например, \( x = 10 \).

\( -(10-8)^2(10+8) = -(2)^2(18) = -(4)(18) = -72 \). Выражение отрицательно (\( < 0 \)).

Нас интересует, когда выражение \( ≥ 0 \). Это происходит на интервале \( x < -8 \).

Также нужно учесть, что корни \( x = -8 \) и \( x = 8 \) входят в решение, так как неравенство нестрогое (\( ≥ \)).

При \( x = 8 \), выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству.

При \( x = -8 \), выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решением неравенства является интервал \( x ≤ -8 \) и точка \( x = 8 \).

Ответ: \( x ≤ -8 \) или \( x = 8 \)