20. В треугольнике ABC углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

Решение:

В треугольнике ABC:

\( \angle A = 20° \)

\( \angle C = 60° \)

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 20° - 60° = 100° \).

BH — высота, значит \( \angle BHA = 90° \). В треугольнике ABH:

\[ \angle ABH = 180° - \angle A - \angle BHA = 180° - 20° - 90° = 70° \]

BD — биссектриса угла B, значит делит угол B пополам:

\[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{100°}{2} = 50° \]

Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен разности углов \( \angle ABH \) и \( \angle ABD \):

\[ \angle HBD = |\angle ABH - \angle ABD| = |70° - 50°| = 20° \]

Ответ: 20°