203. Решите неравенство: 1) (x − 3)(x + 4) ≤ 0; 2) (x + 1)(2x − 7) > 0; 3) (x − 8)/(x − 1) > 0; 4) (3x + 6)/(x − 9) < 0; 5) (2x − 1)/(x + 2) ≤ 0; 6) (5x + 4)/(x − 6) ≥ 0.

Для каждого неравенства найдём нули числителя или множителей и, для дробей, исключим значения, обращающие знаменатель в ноль. Затем определим знак на промежутках между критическими точками.

1. Критические точки: \(x=-4\) и \(x=3\). Произведение неположительно между ними, включая нули: \(x\in[-4;3]\).
2. Критические точки: \(x=-1\) и \(x=\frac{7}{2}\). Произведение положительно вне промежутка между корнями: \(x\in(-\infty;-1)\cup(\frac{7}{2};+\infty)\).
3. Критические точки: \(x=1\) (знаменатель равен нулю, точка исключается) и \(x=8\) (числитель равен нулю, точка не входит при строгом неравенстве). Дробь положительна при \(x<1\) и \(x>8\): \(x\in(-\infty;1)\cup(8;+\infty)\).
4. \(\frac{3x+6}{x-9}=\frac{3(x+2)}{x-9}\). Дробь отрицательна между нулём числителя \(-2\) и запрещённым значением \(9\): \(x\in(-2;9)\).
5. Критические точки: \(x=-2\) (знаменатель, исключается) и \(x=\frac{1}{2}\) (ноль числителя, включается). Дробь неположительна между ними: \(x\in(-2;\frac{1}{2}]\).
6. Критические точки: \(x=-\frac{4}{5}\) (ноль числителя, включается) и \(x=6\) (знаменатель, исключается). Дробь неотрицательна слева от \(-\frac{4}{5}\) и справа от 6: \(x\in(-\infty;-\frac{4}{5}]\cup(6;+\infty)\).

Ответ: 1) \([-4;3]\); 2) \((-\infty;-1)\cup(\frac{7}{2};+\infty)\); 3) \((-\infty;1)\cup(8;+\infty)\); 4) \((-2;9)\); 5) \((-2;\frac{1}{2}]\); 6) \((-\infty;-\frac{4}{5}]\cup(6;+\infty)\).