207 Пользуясь диаграммой Эйлера, проверьте, верно ли равенство: a) AU(BNA) = B; б) A∩(BUA) = A.

Краткое пояснение:

Для проверки равенств будем использовать свойства операций над множествами и их визуальное представление на диаграмме Эйлера. Равенство считается верным, если области, соответствующие левой и правой частям равенства, совпадают.

Пошаговое решение:

а) AU(BNA) = B

Рассмотрим левую часть: AU(BNA).

1. Сначала найдем пересечение B и A (BNA). Это область, где множества B и A перекрываются.

2. Затем найдем объединение A с этой областью (AU(BNA)). Это означает, что мы берем все элементы из A, и добавляем к ним элементы из области (BNA).

По сути, AU(BNA) — это объединение множества A со своей частью, которая пересекается с B. Это эквивалентно просто множеству A, так как BNA уже является подмножеством A.

Таким образом, AU(BNA) = A.

Теперь сравним с правой частью равенства: B.

Равенство AU(BNA) = B верно только в том случае, если A = B. Однако, из общей диаграммы Эйлера (рис. 54) видно, что A, B и C — это разные множества, и A не равно B.

Следовательно, равенство AU(BNA) = B, как правило, неверно (кроме частного случая, когда A=B).

б) A∩(BUA) = A

Рассмотрим левую часть: A∩(BUA).

1. Сначала найдем объединение B и A (BUA). Это область, включающая все элементы из B и все элементы из A (их общая часть тоже включается).

2. Затем найдем пересечение A с этой областью (A∩(BUA)). Это означает, что мы ищем элементы, которые принадлежат и множеству A, и объединению (BUA).

Поскольку все элементы A уже содержатся в объединении (BUA), то пересечение A с (BUA) будет равно самому множеству A.

Таким образом, A∩(BUA) = A.

Правая часть равенства — A.

Сравниваем левую и правую части: A = A.

Следовательно, равенство A∩(BUA) = A верно.

Ответ: а) Неверно (за исключением случая, когда A=B); б) Верно.