21.24. Вычислите $\int_{-2}^{4} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 1; б) рис. 2.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.24. Вычислите $\int_{-2}^{4} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 1; б) рис.…$ Фото задания

21.24. Вычислите $\int_{-2}^{4} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 1; б) рис. 2.

Accepted Answer

а) На рис. 1 график проходит через точки $(-2,4)$ и $(1,1)$, а затем на отрезке от $x=1$ до $x=4$ имеет значение $f(x)=1$.

Разобьём интеграл в точке перехода графика:

$\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=\int_{-2}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{4}1\,dx.$

На первом участке площадь трапеции равна $\frac{4+1}{2}\cdot3=\frac{15}{2}$. На втором участке интеграл равен $1\cdot3=3$. Поэтому $\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=\frac{15}{2}+3=\frac{21}{2}$.

б) На рис. 2 вершина графика — точка $(1,0)$. На участке от $-2$ до $1$ площадь под графиком — треугольник с основанием 3 и высотой 4; от 1 до 4 — треугольник с основанием 3 и высотой 2. График на всём отрезке неотрицателен, поэтому интеграл равен сумме площадей:

$\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=\frac{3\cdot4}{2}+\frac{3\cdot2}{2}=6+3=9.$

Ответ: а) $\frac{21}{2}$; б) $9$.

21.24. Вычислите \(\int_{-2}^{4} f(x)\,dx\), если график функции \(y=f(x)\) изображён на заданном рисунке: а) рис. 1; б) рис. 2.

Ответ: