21.26. Вычислите интеграл: а) $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ (парабола) изображён на рис. 5; б) $\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ (парабола) изображён на рис. 6.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.26. Вычислите интеграл: а) $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ (парабола) изображён на рис. 5; б)…$ Фото задания

21.26. Вычислите интеграл: а) $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ (парабола) изображён на рис. 5; б) $\int_{-1}^{2} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ (парабола) изображён на рис. 6.

Accepted Answer

а) По рис. 5 вершина параболы — $(-1,-1)$, а нули функции — $-2$ и $0$. Поэтому $f(x)=(x+1)^2-1=x^2+2x$.

$\int_{-2}^{1}f(x)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\right|_{-2}^{1}=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0.$

б) По рис. 6 парабола пересекает ось $x$ в точках 0 и 2, а вершина находится в точке $(1,\frac{3}{2})$. Следовательно, $f(x)=-\frac{3}{2}x(x-2)$.

$\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=\left.\left(-\frac{x^3}{2}+\frac{3x^2}{2}\right)\right|_{-1}^{2}=2-2=0.$

Ответ: а) $0$; б) $0$.