21.25. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 3; б) рис. 4.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.25. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 3; б) рис.…$ Фото задания

21.25. Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$, если график функции $y=f(x)$ изображён на заданном рисунке: а) рис. 3; б) рис. 4.

Accepted Answer

а) На рис. 3 график равен 1 от $x=-2$ до $x=-1$, а дальше, от $x=-1$ до $x=3$, проходит по прямой $y=-x$.

$\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=\int_{-2}^{-1}1\,dx+\int_{-1}^{3}(-x)\,dx.$

Первый интеграл равен 1. Для второго используем первообразную $-\frac{x^2}{2}$: $\left.-\frac{x^2}{2}\right|_{-1}^{3}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=-4$. Следовательно, весь интеграл равен $1-4=-3$.

б) На рис. 4 график имеет вид $f(x)=|x|-1$, вершина находится в точке $(0,-1)$. Тогда

$\int_{-2}^{3}(|x|-1)\,dx=\int_{-2}^{0}(-x-1)\,dx+\int_{0}^{3}(x-1)\,dx.$

Первый интеграл равен 0, второй — $\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_0^3=\frac{3}{2}$. Значит, значение интеграла равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: а) $-3$; б) $\frac{3}{2}$.

21.25. Вычислите \(\int_{-2}^{3} f(x)\,dx\), если график функции \(y=f(x)\) изображён на заданном рисунке: а) рис. 3; б) рис. 4.

Ответ: