21.5. а) Вычислите определённый интеграл: $\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{x^2}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.5. а) Вычислите определённый интеграл: $\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{x^2}\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разделим каждый член числителя на $x^2$:

\[\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{x^2}=4x^3-3x^2+x-x^{-2}.\]

Первообразная:

\[F(x)=x^4-x^3+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}.\]

Вычислим значение на концах отрезка:

\[\int_{1}^{2}\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{x^2}\,dx=F(2)-F(1).\]

\[F(2)=16-8+2+\frac12=\frac{21}{2},\qquad F(1)=1-1+\frac12+1=\frac32.\]

\[F(2)-F(1)=\frac{21}{2}-\frac32=9.\]

Ответ: $9$.

21.5. а) Вычислите определённый интеграл: \(\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{4x^5-3x^4+x^3-1}{x^2}\,dx\).