21.5. в) Вычислите определённый интеграл: $\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21.5. в) Вычислите определённый интеграл: $\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разделим каждый член числителя на $x^2$:

\[\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}=6x^2-4x+7-x^{-2}.\]

Первообразная:

\[F(x)=2x^3-2x^2+7x+\frac{1}{x}.\]

Вычислим значения на концах отрезка:

\[F(3)=54-18+21+\frac13=\frac{172}{3},\]

\[F(2)=16-8+14+\frac12=\frac{45}{2}.\]

Тогда

\[\int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx=\frac{172}{3}-\frac{45}{2}=\frac{205}{6}=34\frac56.\]

Ответ: $\frac{205}{6}=34\frac56$.

21.5. в) Вычислите определённый интеграл: \(\displaystyle \int_{2}^{3}\frac{6x^4-4x^3+7x^2-1}{x^2}\,dx\).