21. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

• Диагональ BD образует с сторонами AB и AD углы, или с сторонами BC и CD.
• Рассмотрим углы, образованные диагональю BD со сторонами AB и AD.
• Пусть ∠ABD = 65° и ∠ADB = 50°.
• В параллелограмме AB || CD и AD || BC.
• Также, ∠ABD = ∠BDC = 65° (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).
• ∠ADB = ∠DBC = 50° (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей BD).
• Угол параллелограмма ∠DAB = ∠ADB = 50°.
• Угол параллелограмма ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 65° + 50° = 115°.
• Проверим: ∠DAB + ∠ABC = 50° + 115° = 165°. Это неверно, так как сумма смежных углов параллелограмма должна быть 180°.
• Значит, углы 65° и 50° относятся к углам, образованным диагональю BD со сторонами AB и BC, или AD и CD.
• Рассмотрим вариант: ∠ABD = 65° и ∠DBC = 50°.
• Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 65° + 50° = 115°.
• Смежный угол ∠DAB = 180° - 115° = 65°.
• При этом ∠ADB = ∠DBC = 50° (накрест лежащие).
• ∠BDC = ∠ABD = 65° (накрест лежащие).
• Углы параллелограмма: ∠DAB = 65°, ∠ABC = 115°.
• Меньший угол параллелограмма равен 65°.
• Рассмотрим другой вариант: ∠ADB = 65° и ∠ABD = 50°.
• Тогда ∠DAB = ∠ADB = 65°.
• ∠ABC = 180° - 65° = 115°.
• ∠DBC = ∠ADB = 65° (накрест лежащие).
• ∠BDC = ∠ABD = 50° (накрест лежащие).
• Углы параллелограмма: ∠DAB = 65°, ∠ABC = 115°.
• Меньший угол параллелограмма равен 65°.
• В любом случае, меньший угол равен 65°.

Ответ: 65