21. Докажите, что АВСД – ромб, если А (6;7;8), B (8;2;6), C (4;3;2), D (2,8,4).

Решение:

Чтобы доказать, что четырёхугольник АВСД является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны.

1. Найдем длину стороны AB: \( AB = \sqrt{(8-6)^2 + (2-7)^2 + (6-8)^2} = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33} \)
2. Найдем длину стороны BC: \( BC = \sqrt{(4-8)^2 + (3-2)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \)
3. Найдем длину стороны CD: \( CD = \sqrt{(2-4)^2 + (8-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 25 + 4} = \sqrt{33} \)
4. Найдем длину стороны DA: \( DA = \sqrt{(6-2)^2 + (7-8)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \)

Поскольку все стороны четырёхугольника равны (\( AB = BC = CD = DA = \sqrt{33} \)), четырёхугольник АВСД является ромбом.

Ответ: Четырёхугольник АВСД является ромбом.