24. Число 28 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение:

Пусть два неотрицательных слагаемых будут \( x \) и \( y \). По условию \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \), и \( x + y = 28 \).

Нам нужно минимизировать сумму квадратов \( S = x^2 + y^2 \).

Из первого уравнения выразим \( y = 28 - x \). Подставим это во второе уравнение:

\[ S(x) = x^2 + (28 - x)^2 \]

\[ S(x) = x^2 + (28^2 - 2 · 28 · x + x^2) \]

\[ S(x) = x^2 + 784 - 56x + x^2 \]

\[ S(x) = 2x^2 - 56x + 784 \]

Это квадратичная функция, ветви которой направлены вверх. Минимум достигается в вершине параболы. Найдем координату вершины:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-56}{2 · 2} = -\frac{-56}{4} = 14 \]

Так как \( x = 14 \) находится в допустимом диапазоне \( x ≥ 0 \), это значение является минимумом.

Теперь найдем \( y \):

\[ y = 28 - x = 28 - 14 = 14 \]

Слагаемые равны 14 и 14.

Проверим:

Сумма: \( 14 + 14 = 28 \).

Сумма квадратов: \( 14^2 + 14^2 = 196 + 196 = 392 \).

Если взять, например, 13 и 15:

Сумма: \( 13 + 15 = 28 \).

Сумма квадратов: \( 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394 \).

Сумма квадратов действительно меньше.

Ответ: 14 и 14.