21. Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым (рис. 34).

Обозначим скрещивающиеся прямые через l и m. Возьмём на них точки X и Y, а через M обозначим середину отрезка XY.

1. Зафиксируем на прямых точки X₀ и Y₀. Пусть направления прямых заданы векторами u и v. Тогда X = X₀ + tu, Y = Y₀ + sv для некоторых чисел t и s.
2. Радиус-вектор середины равен M = (X + Y)/2 = (X₀ + Y₀)/2 + (tu + sv)/2.
3. Следовательно, все такие середины лежат в плоскости, проходящей через середину отрезка X₀Y₀ и натянутой на направления u и v. Эта плоскость параллельна обеим прямым.
4. Обратно, любое смещение в этой плоскости задаётся слагаемыми (tu + sv)/2. Поэтому любой её точке соответствует пара точек X и Y на исходных прямых, для которых эта точка является серединой XY.

Ответ: геометрическое место середин — плоскость, параллельная обеим скрещивающимся прямым.