22. Даны четыре точки A, B, C и D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым AB и CD, пересекает прямые AC, AD, BD и BC в вершинах параллелограмма.

Пусть плоскость пересекает прямые AC, AD, BD и BC соответственно в точках P, Q, R и S. Обозначим радиус-векторы точек через те же буквы.

1. Поскольку плоскость параллельна AB, её направление содержит вектор B − A. Поскольку она параллельна CD, её направление также содержит вектор D − C.
2. Точки на четырёх прямых можно записать с некоторыми параметрами: P = A + t(C − A), Q = A + r(D − A), R = B + u(D − B), S = B + v(C − B).
3. Плоскость, параллельная направлениям AB и CD, задаётся условием, что для принадлежащих ей точек коэффициенты при векторах C − A и D − A равны. Поэтому из принадлежности P, Q, R и S этой плоскости следует t = r = u = v.
4. Из этих выражений получаем Q − P = R − S и R − Q = S − P. Значит, противоположные стороны четырёхугольника PQRS попарно параллельны и равны.

Следовательно, точки пересечения являются вершинами параллелограмма.

Ответ: сечение образует параллелограмм.