21. Два автомобиля одновременно отправляются в 540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим скорость второго автомобиля как \( x \) км/ч.
2. Шаг 2: Скорость первого автомобиля будет \( x + 30 \) км/ч.
3. Шаг 3: Время, которое потребуется второму автомобилю для преодоления 540 км: \( t_2 = \frac{540}{x} \) часов.
4. Шаг 4: Время, которое потребуется первому автомобилю для преодоления 540 км: \( t_1 = \frac{540}{x+30} \) часов.
5. Шаг 5: По условию, первый автомобиль прибывает на 3 часа раньше второго, следовательно, \( t_2 - t_1 = 3 \).
6. Шаг 6: Составим уравнение: \( \frac{540}{x} - \frac{540}{x+30} = 3 \).
7. Шаг 7: Умножим обе части уравнения на \( x(x+30) \) для избавления от знаменателей:
• \( 540(x+30) - 540x = 3x(x+30) \)
• \( 540x + 16200 - 540x = 3x^2 + 90x \)
• \( 16200 = 3x^2 + 90x \)
8. Шаг 8: Разделим все члены на 3:
• \( 5400 = x^2 + 30x \)
• \( x^2 + 30x - 5400 = 0 \)
9. Шаг 9: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4(1)(-5400) = 900 + 21600 = 22500 \).
10. Шаг 10: Найдем корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
• \( x_1 = \frac{-30 + \sqrt{22500}}{2(1)} = \frac{-30 + 150}{2} = \frac{120}{2} = 60 \)
• \( x_2 = \frac{-30 - \sqrt{22500}}{2(1)} = \frac{-30 - 150}{2} = \frac{-180}{2} = -90 \)
11. Шаг 11: Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость второго автомобиля \( x = 60 \) км/ч.
12. Шаг 12: Найдем скорость первого автомобиля: \( x + 30 = 60 + 30 = 90 \) км/ч.

Ответ: 90 км/ч