22. Постройте график функции y = (x^2 +0,25)(x + 1) / (-1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим функцию. Область определения функции: \( -1-x \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \).
2. Шаг 2: Заметим, что \( x^2 + 0.25 \) не может быть разложено на множители с действительными коэффициентами. Преобразуем числитель: \( (x^2 + 0.25)(x+1) = x^3 + x^2 + 0.25x + 0.25 \).
3. Шаг 3: Знаменатель: \( -1-x = -(1+x) \).
4. Шаг 4: Таким образом, \( y = \frac{x^3 + x^2 + 0.25x + 0.25}{-(x+1)} \).
5. Шаг 5: Попробуем разложить числитель иначе, группируя члены: \( x^2(x+1) + 0.25(x+1) = (x^2+0.25)(x+1) \).
6. Шаг 6: Теперь функция выглядит так: \( y = \frac{(x^2+0.25)(x+1)}{-(x+1)} \).
7. Шаг 7: Сокращаем \( (x+1) \) при условии \( x \neq -1 \): \( y = -(x^2+0.25) = -x^2 - 0.25 \).
8. Шаг 8: Это парабола с вершиной в точке \( (0, -0.25) \), ветвями, направленными вниз. Однако, так как \( x \neq -1 \), в графике будет выколотая точка при \( x = -1 \).
9. Шаг 9: Найдем значение \( y \) при \( x = -1 \): \( y = -(-1)^2 - 0.25 = -1 - 0.25 = -1.25 \). Таким образом, выколотая точка имеет координаты \( (-1, -1.25) \).
10. Шаг 10: График функции — парабола \( y = -x^2 - 0.25 \) с выколотой точкой \( (-1, -1.25) \).
11. Шаг 11: Рассмотрим прямую \( y = kx \). Эта прямая всегда проходит через начало координат \( (0,0) \).
12. Шаг 12: Нам нужно найти такие значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с параболой \( y = -x^2 - 0.25 \) ровно одну общую точку (учитывая выколотую точку).
13. Шаг 13: Для нахождения точек пересечения приравняем уравнения: \( kx = -x^2 - 0.25 \).
14. Шаг 14: Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + kx + 0.25 = 0 \).
15. Шаг 15: Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой (касалась её), дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю: \( D = k^2 - 4(1)(0.25) = 0 \).
16. Шаг 16: \( k^2 - 1 = 0 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = \pm 1 \).
17. Шаг 17: Теперь нужно проверить, не является ли одна из этих точек пересечения выколотой точкой \( (-1, -1.25) \).
18. Шаг 18: При \( k = 1 \): \( x^2 + x + 0.25 = 0 \). \( (x + 0.5)^2 = 0 \Rightarrow x = -0.5 \). Точка пересечения \( (-0.5, -0.5) \). Это не выколотая точка.
19. Шаг 19: При \( k = -1 \): \( x^2 - x + 0.25 = 0 \). \( (x - 0.5)^2 = 0 \Rightarrow x = 0.5 \). Точка пересечения \( (0.5, -0.5) \). Это не выколотая точка.
20. Шаг 20: Важно рассмотреть случай, когда прямая \( y=kx \) проходит через выколотую точку \( (-1, -1.25) \).
21. Шаг 21: Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой: \( -1.25 = k(-1) \Rightarrow k = 1.25 \).
22. Шаг 22: Проверим, сколько точек пересечения будет при \( k = 1.25 \). Уравнение: \( x^2 + 1.25x + 0.25 = 0 \).
23. Шаг 23: Дискриминант: \( D = (1.25)^2 - 4(1)(0.25) = 1.5625 - 1 = 0.5625 > 0 \).
24. Шаг 24: В этом случае будет две точки пересечения. Одна из них — это выколотая точка, вторая — еще одна точка.
25. Шаг 25: Теперь рассмотрим случай, когда прямая \( y=kx \) совпадает с одной из ветвей гиперболы, если бы она была. Однако, у нас парабола.
26. Шаг 26: Мы ищем случай, когда есть ровно одна общая точка. Это может произойти, если прямая является касательной к параболе, и точка касания не является выколотой, ИЛИ если прямая проходит через начало координат и выколотую точку, и не пересекает параболу в другой точке (что невозможно, так как парабола открытая).
27. Шаг 27: Мы уже нашли два значения \( k \) (1 и -1), при которых прямая касается параболы (одна точка пересечения).
28. Шаг 28: Нужно исключить случай, когда касательная проходит через выколотую точку, но при этом является касательной к параболе.
29. Шаг 29: Проверим, проходит ли прямая \( y=kx \) через выколотую точку \( (-1, -1.25) \). Если \( k = 1.25 \), прямая проходит через эту точку.
30. Шаг 30: При \( k=1.25 \), уравнение \( x^2 + 1.25x + 0.25 = 0 \). Корни: \( x = \frac{-1.25 ± \sqrt{0.5625}}{2} = \frac{-1.25 ± 0.75}{2} \). \( x_1 = -0.25 \) и \( x_2 = -1 \).
31. Шаг 31: Таким образом, при \( k=1.25 \) одна точка пересечения — это выколотая точка \( x=-1 \), а вторая точка — \( x=-0.25 \). Всего две точки.
32. Шаг 32: Вернемся к случаям касания: \( k = 1 \) и \( k = -1 \). При \( k=1 \) точка касания \( (-0.5, -0.5) \). При \( k=-1 \) точка касания \( (0.5, -0.5) \). Эти точки не являются выколотой.
33. Шаг 33: Теперь нужно рассмотреть случай, когда одна из точек пересечения является выколотой точкой. Это произойдет, если прямая \( y=kx \) проходит через выколотую точку \( (-1, -1.25) \). Мы нашли, что это происходит при \( k = 1.25 \).
34. Шаг 34: При \( k = 1.25 \) мы имеем две точки пересечения: \( (-1, -1.25) \) (выколотая) и \( (-0.25, -0.3125) \).
35. Шаг 35: Также следует рассмотреть случай, когда прямая \( y=kx \) проходит через начало координат и является касательной к параболе. Это происходит при \( k=1 \) и \( k=-1 \).
36. Шаг 36: Еще один случай, когда прямая может иметь ровно одну общую точку с графиком — это когда прямая проходит через выколотую точку, и эта точка является единственной. Однако, это возможно только если парабола сама бы проходила через начало координат, что не так.
37. Шаг 37: Пересмотр: прямая \( y=kx \) проходит через \( (0,0) \). Парабола \( y=-x^2-0.25 \) с выколотой точкой \( (-1, -1.25) \).
38. Шаг 38: Случай 1: Прямая касается параболы. Это происходит при \( k=1 \) и \( k=-1 \). В этих случаях получается ровно одна точка пересечения (касание), и эти точки не являются выколотой.
39. Шаг 39: Случай 2: Прямая проходит через выколотую точку. Это происходит при \( k=1.25 \). В этом случае мы имеем две точки пересечения: выколотую точку \( (-1, -1.25) \) и еще одну точку \( (-0.25, -0.3125) \).
40. Шаг 40: Случай 3: Одна из точек пересечения является выколотой точкой, и при этом прямая не является касательной. Это как раз случай \( k=1.25 \).
41. Шаг 41: Ищем случаи, когда получается ровно одна точка. Это касание. Значит, \( k=1 \) и \( k=-1 \).
42. Шаг 42: Рассмотрим еще один случай: прямая проходит через начало координат и через выколотую точку. При \( k=1.25 \), мы имеем две точки.
43. Шаг 43: Возможно, мы упустили случай, когда прямая проходит через начало координат и через выколотую точку, и при этом выколотая точка является единственной общей точкой. Это невозможно.
44. Шаг 44: Итак, у нас есть два значения \( k \) (1 и -1), при которых прямая является касательной к параболе.
45. Шаг 45: Также нужно рассмотреть случай, когда прямая проходит через начало координат и выколотую точку, но при этом эта выколотая точка является единственной