21. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α (задача 52 учебника).

Пусть стороны \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) параллельны плоскости \(\alpha\). Обозначим плоскость треугольника через \(\gamma\).

Так как \(AB\parallel\alpha\), в плоскости \(\alpha\) существует прямая, параллельная \(AB\). Аналогично в плоскости \(\alpha\) существует прямая, параллельная \(AC\). Эти две прямые пересекаются: их направления совпадают с направлениями пересекающихся сторон \(AB\) и \(AC\).

Итак, две пересекающиеся прямые плоскости \(\alpha\) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости \(\gamma\). По признаку параллельности плоскостей \(\gamma\parallel\alpha\). Поскольку \(BC\) лежит в плоскости \(\gamma\), параллельной \(\alpha\), получаем \(BC\parallel\alpha\).

Ответ: третья сторона \(BC\) параллельна плоскости \(\alpha\).