22. Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E, K и T лежат на отрезках FM, FN и FP, причём FE/FM = FK/FN = FT/FP = 2/3. а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны. б) Найдите площадь треугольника EKT, если площадь треугольника MNP равна 36 см².

а) В треугольнике \(FMN\) точки \(E\) и \(K\) делят стороны в одинаковом отношении: \(FE/FM=FK/FN=2/3\). По теореме Фалеса \(EK\parallel MN\).

Аналогично, в треугольнике \(FNP\) имеем \(FK/FN=FT/FP\), поэтому \(KT\parallel NP\). В треугольнике \(FMP\) имеем \(FE/FM=FT/FP\), поэтому \(ET\parallel MP\).

Следовательно, плоскость \(EKT\) содержит две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым плоскости \(MNP\). По признаку параллельности плоскостей \(EKT\parallel MNP\).

б) Коэффициент подобия треугольников \(EKT\) и \(MNP\) равен \(2/3\). Поэтому отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\(S_{EKT}/S_{MNP}=(2/3)^2=4/9\).

\(S_{EKT}=36\cdot4/9=16\text{ см}^2\).

Ответ: а) \(EKT\parallel MNP\); б) \(16\text{ см}^2\).