21) (ЕГЭ 2025) Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x² + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px − (0,5x² + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

Годовая прибыль при выпуске x тыс. единиц продукции:

\(P(x)=px-(0.5x^2+2x+6)=-0.5x^2+(p-2)x-6\).

Так как это квадратичная функция с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в вершине параболы. При допустимом неотрицательном объёме выпуска оптимальный объём равен \(x=p-2\), а максимальная прибыль составляет \(P_{\max}=\frac{(p-2)^2}{2}-6\).

Чтобы затраты на строительство в 78 млн рублей окупились не более чем за 3 года, за три года нужно получить не менее 78 млн рублей прибыли:

\(3P_{\max}\ge78\), следовательно, \(P_{\max}\ge26\).

\(\frac{(p-2)^2}{2}-6\ge26\), откуда \((p-2)^2\ge64\). Поскольку для положительного оптимального выпуска требуется \(p\ge2\), получаем \(p-2\ge8\), то есть \(p\ge10\).

Ответ: 10 тыс. рублей за единицу.