21 \(f(x)=\frac{1}{2}x\), \(g(x)=x-x^2\). Solve \(f^{-1}(x)=gf(x)\).

Перевод задания: Даны функции \(f(x)=\frac{1}{2}x\) и \(g(x)=x-x^2\). Решите уравнение \(f^{-1}(x)=g(f(x))\).

Solution:

Since \(f(x)=\frac{x}{2}\), its inverse is:

\(f^{-1}(x)=2x\)

Now find the composite function:

\(g(f(x))=g\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}\)

Set the two expressions equal:

\(2x=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}\)

Multiply by 4:

\(8x=2x-x^2\)

Rearrange and factorise:

\(x^2+6x=0\)

\(x(x+6)=0\)

Therefore,

\(x=0\) or \(x=-6\).

Перевод решения:

Так как \(f(x)=\frac{x}{2}\), обратная функция имеет вид:

\(f^{-1}(x)=2x\)

Найдём составную функцию:

\(g(f(x))=g\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}-\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}\)

Приравняем выражения:

\(2x=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}\)

Умножим на 4:

\(8x=2x-x^2\)

Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители:

\(x^2+6x=0\)

\(x(x+6)=0\)

Следовательно,

\(x=0\) или \(x=-6\).