21. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого теплохода (км/ч).

Пусть \( t_1 \) — время в пути первого теплохода (ч).

Расстояние \( S = 70 \) км.

Первое уравнение:

\[ v_1 \cdot t_1 = 70 \]

Скорость второго теплохода \( v_2 = v_1 + 8 \) (км/ч).

Второй теплоход отправился на 1 час позже, поэтому время его в пути \( t_2 = t_1 - 1 \) (ч).

Второе уравнение:

\[ v_2 \cdot t_2 = 70 \]

\[ (v_1 + 8)(t_1 - 1) = 70 \]

Из первого уравнения выразим \( t_1 = \frac{70}{v_1} \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (v_1 + 8)(\frac{70}{v_1} - 1) = 70 \]

Раскроем скобки:

\[ v_1 \cdot \frac{70}{v_1} - v_1 \cdot 1 + 8 \cdot \frac{70}{v_1} - 8 \cdot 1 = 70 \]

\[ 70 - v_1 + \frac{560}{v_1} - 8 = 70 \]

Вычтем 70 из обеих частей уравнения:

\[ -v_1 + \frac{560}{v_1} - 8 = 0 \]

Умножим всё уравнение на \( v_1 \), чтобы избавиться от знаменателя (при \( v_1 \neq 0 \)):

\[ -v_1^2 + 560 - 8v_1 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( v_1^2 \) был положительным:

\[ v_1^2 + 8v_1 - 560 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-560) = 64 + 2240 = 2304 \]

Найдём \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{2304} = 48 \]

Найдём корни \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 48}{2} \]

Два возможных значения:

\( v_{1,1} = \frac{-8 + 48}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)

\( v_{1,2} = \frac{-8 - 48}{2} = \frac{-56}{2} = -28 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 20 км/ч.