21. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Пусть весь путь равен \(2s\) (поскольку путь делится на две равные половины). Тогда первая половина пути равна \(s\) и вторая половина пути также равна \(s\).

1. Время, затраченное на первую половину пути: \(t_1 = \frac{s}{90}\).
2. Время, затраченное на вторую половину пути: \(t_2 = \frac{s}{110}\).
3. Общее время в пути: \(t = t_1 + t_2 = \frac{s}{90} + \frac{s}{110}\).
4. Чтобы найти общее время, приведем дроби к общему знаменателю:
\(t = \frac{110s + 90s}{90 \cdot 110} = \frac{200s}{9900} = \frac{2s}{99}\).
5. Средняя скорость находится по формуле: \(v_{ср} = \frac{\text{весь путь}}{\text{все время}} = \frac{2s}{t}\).
6. Подставим найденное время: \(v_{ср} = \frac{2s}{\frac{2s}{99}} = 2s \cdot \frac{99}{2s} = 99\).

Ответ: Средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути равна 99 км/ч.