23. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 54, AC = 48.

1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\). Так как \(AB \parallel DC\), то углы \(\angle BAM\) и \(\angle MCD\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых, а углы \(\angle ABM\) и \(\angle MDC\) также равны как накрест лежащие. Следовательно, треугольники \(\triangle ABM\) и \(\triangle CDM\) подобны по двум углам.
2. Запишем отношение сторон подобных треугольников: \(\frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD}\). Подставим известные значения: \(\frac{18}{54} = \frac{1}{3}\). Следовательно, отношение сторон равно \(\frac{1}{3}\).
3. Мы знаем, что \(AC = 48\), и \(AC = AM + MC\). Обозначим \(MC = x\), тогда \(AM = 48 - x\). Из отношения сторон имеем \(\frac{AM}{MC} = \frac{1}{3}\), то есть \(\frac{48 - x}{x} = \frac{1}{3}\).
4. Решим полученное уравнение: \(3(48 - x) = x\) => \(144 - 3x = x\) => \(144 = 4x\) => \(x = \frac{144}{4} = 36\).

Ответ: \(MC = 36\).