21. Постройте график функции $y=\frac{x-2}{2x-x^2}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 21. Постройте график функции $y=\frac{x-2}{2x-x^2}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с…$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $x\neq0$, $x\neq2$.

Упростим функцию:

$y=\frac{x-2}{x(2-x)}=-\frac1x$, но точка $x=2$ исключена. Поэтому график — гипербола $y=-\frac1x$ с выколотой точкой $\left(2;-\frac12\right)$.

Точки пересечения с прямой $y=kx$ находятся из уравнения:

$-\frac1x=kx\Rightarrow kx^2=-1$.

При $k<0$ обычно имеются две точки. Ровно одна точка получится, если одна из них будет выколотой: $x=2$. Тогда $k\cdot2^2=-1$, откуда $k=-\frac14$.

График имеет вид гиперболы $y=-1/x$ с асимптотами $x=0$, $y=0$ и выколотой точкой $\left(2;-\frac12\right)$.

Ответ: $k=-\frac14$.

21. Постройте график функции \(y=\frac{x-2}{2x-x^2}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.