21. Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 5, но меньше 50. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили В и вычли С. Получилось 164. Какое число было загадано, и в каком порядке применены B и C?

Решение:

Обозначим загаданное число как \( x \). Условие задачи можно записать в виде уравнения: \( x \cdot A + B - C = 164 \).

Мы знаем, что \( A, B, C \) — натуральные числа, \( 5 < A, B, C < 50 \). Значит, \( 6 \le A, B, C \le 49 \).

Из уравнения \( x · A = 164 - B + C \).

Рассмотрим крайние значения для \( -B + C \):

• Минимальное значение \( -B + C \): \( B=49, C=6 \) → \( -49 + 6 = -43 \).
• Максимальное значение \( -B + C \): \( B=6, C=49 \) → \( -6 + 49 = 43 \).

Таким образом, \( 164 - 43 \le x · A \le 164 + 43 \), что дает \( 121 \le x · A \le 207 \).

Поскольку \( 6 \le A \le 49 \), мы можем найти возможные значения \( x \) и \( A \).

Если \( x = 1 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121, 207] \), что невозможно, так как \( A \le 49 \).

Если \( x = 2 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/2, 207/2] \), то есть \( [60.5, 103.5] \). Это тоже невозможно, так как \( A \le 49 \).

Если \( x = 3 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/3, 207/3] \), то есть \( [40.33, 69] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=41, 42, ..., 49 \).

Если \( x = 4 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/4, 207/4] \), то есть \( [30.25, 51.75] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=31, 32, ..., 49 \).

Если \( x = 5 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/5, 207/5] \), то есть \( [24.2, 41.4] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=25, 26, ..., 41 \).

Если \( x = 6 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/6, 207/6] \), то есть \( [20.17, 34.5] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=21, 22, ..., 34 \).

Если \( x = 7 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/7, 207/7] \), то есть \( [17.28, 29.57] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=18, 19, ..., 29 \).

Если \( x = 8 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/8, 207/8] \), то есть \( [15.125, 25.875] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=16, 17, ..., 25 \).

Если \( x = 9 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/9, 207/9] \), то есть \( [13.44, 23] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=14, 15, ..., 23 \).

Если \( x = 10 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/10, 207/10] \), то есть \( [12.1, 20.7] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=13, 14, ..., 20 \).

Если \( x = 11 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/11, 207/11] \), то есть \( [11, 18.8] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=11, 12, ..., 18 \).

Если \( x = 12 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/12, 207/12] \), то есть \( [10.08, 17.25] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=11, 12, ..., 17 \).

Если \( x = 13 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/13, 207/13] \), то есть \( [9.3, 15.9] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=10, 11, ..., 15 \).

Если \( x = 14 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/14, 207/14] \), то есть \( [8.6, 14.78] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=9, 10, ..., 14 \).

Если \( x = 15 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/15, 207/15] \), то есть \( [8.06, 13.8] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=9, 10, ..., 13 \).

Если \( x = 16 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/16, 207/16] \), то есть \( [7.56, 12.93] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=8, 9, ..., 12 \).

Если \( x = 17 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/17, 207/17] \), то есть \( [7.11, 12.17] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=8, 9, ..., 12 \).

Если \( x = 18 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/18, 207/18] \), то есть \( [6.72, 11.5] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7, 8, ..., 11 \).

Если \( x = 19 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/19, 207/19] \), то есть \( [6.36, 10.89] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7, 8, ..., 10 \).

Если \( x = 20 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/20, 207/20] \), то есть \( [6.05, 10.35] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7, 8, 9, 10 \).

Если \( x = 21 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/21, 207/21] \), то есть \( [5.76, 9.85] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7, 8, 9 \).

Если \( x = 22 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/22, 207/22] \), то есть \( [5.5, 9.4] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7, 8, 9 \).

Если \( x = 23 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/23, 207/23] \), то есть \( [5.26, 9.0] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7, 8, 9 \).

Если \( x = 24 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/24, 207/24] \), то есть \( [5.04, 8.625] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7, 8 \).

Если \( x = 25 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/25, 207/25] \), то есть \( [4.84, 8.28] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7, 8 \).

Если \( x = 26 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/26, 207/26] \), то есть \( [4.65, 7.96] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6, 7 \).

Если \( x = 27 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/27, 207/27] \), то есть \( [4.48, 7.66] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7 \).

Если \( x = 28 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/28, 207/28] \), то есть \( [4.32, 7.39] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7 \).

Если \( x = 29 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/29, 207/29] \), то есть \( [4.17, 7.13] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=7 \).

Если \( x = 30 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/30, 207/30] \), то есть \( [4.03, 6.9] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6 \).

Если \( x = 31 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/31, 207/31] \), то есть \( [3.9, 6.67] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6 \).

Если \( x = 32 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/32, 207/32] \), то есть \( [3.78, 6.46] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6 \).

Если \( x = 33 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/33, 207/33] \), то есть \( [3.66, 6.27] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6 \).

Если \( x = 34 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/34, 207/34] \), то есть \( [3.55, 6.08] \). Возможные значения \( A \) из этого диапазона и \( 6 \le A \le 49 \) — это \( A=6 \).

Если \( x = 35 \), то \( A \) будет в диапазоне \( [121/35, 207/35] \), то есть \( [3.45, 5.91] \). Нет возможных значений \( A \).

Проверим случаи, когда \( x \) и \( A \) удовлетворяют условиям.

Рассмотрим \( x = 4 \).

\( 4 · A + B - C = 164 \). \( 4A = 164 + C - B \).

Мы знаем, что \( -43 \le C - B \le 43 \).

\( 164 - 43 \le 4A \le 164 + 43 \) \( \rightarrow \) \( 121 \le 4A \le 207 \) \( \rightarrow \) \( 30.25 \le A \le 51.75 \).

Возможные \( A \) в диапазоне \( [31, 49] \).

Если \( A = 41 \) (одно из возможных значений), то \( 4 · 41 = 164 \). \( 164 + B - C = 164 \) \( \rightarrow \) \( B - C = 0 \) \( \rightarrow \) \( B = C \). Например, \( B = 6, C = 6 \). Число 4, A=41, B=6, C=6. Условия: \( 4, 41, 6, 6 \) все больше 5 и меньше 50. \( 4 · 41 + 6 - 6 = 164 \). Это подходит.

Рассмотрим \( x = 5 \).

\( 5 · A + B - C = 164 \). \( 5A = 164 + C - B \).

\( 164 - 43 \le 5A \le 164 + 43 \) \( \rightarrow \) \( 121 \le 5A \le 207 \) \( \rightarrow \) \( 24.2 \le A \le 41.4 \).

Возможные \( A \) в диапазоне \( [25, 41] \).

Если \( A = 41 \), то \( 5 · 41 = 205 \). \( 205 + B - C = 164 \) \( \rightarrow \) \( B - C = 164 - 205 = -41 \). \( C - B = 41 \). Возможны пары: \( C=49, B=8 \); \( C=48, B=7 \); \( C=47, B=6 \).

Если \( A = 41, x = 5, C=49, B=8 \). \( 5 · 41 + 8 - 49 = 205 + 8 - 49 = 213 - 49 = 164 \). Условия: \( 5, 41, 8, 49 \) все больше 5 и меньше 50. Это подходит.

Загаданное число: 5. Порядок применения: сначала умножили на A=41, затем прибавили B=8, вычли C=49.

Ответ: Загаданное число 5. Порядок операций: умножить на A, прибавить B, вычесть C.