21. Решите уравнение: (2x-1)(2x+1)-(2x+3)² = 38.

Задание 21. Решение уравнения

Дано уравнение: \( (2x-1)(2x+1)-(2x+3)^2 = 38 \)

Шаг 1: Раскрываем скобки.

Первая часть: \( (2x-1)(2x+1) \) — это разность квадратов, поэтому равно \( (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1 \).

Вторая часть: \( (2x+3)^2 \) — это квадрат суммы, поэтому равно \( (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 \).

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в уравнение:

\[ (4x^2 - 1) - (4x^2 + 12x + 9) = 38 \]

Шаг 2: Упрощаем уравнение.

Раскроем вторую скобку, меняя знаки на противоположные:

\[ 4x^2 - 1 - 4x^2 - 12x - 9 = 38 \]

Сократим \( 4x^2 \) и \( -4x^2 \), а также объединим константы:

\[ -1 - 9 - 12x = 38 \]

\[ -10 - 12x = 38 \]

Шаг 3: Находим x.

Перенесём константу \( -10 \) в правую часть:

\[ -12x = 38 + 10 \]

\[ -12x = 48 \]

Разделим обе части на \( -12 \):

\[ x = \frac{48}{-12} \]

\[ x = -4 \]

Проверка:

Подставим \( x = -4 \) в исходное уравнение:

\( (2(-4)-1)(2(-4)+1)-(2(-4)+3)^2 = (-8-1)(-8+1)-(-8+3)^2 \)

\[ = (-9)(-7)-(-5)^2 = 63 - 25 = 38 \]

Результат совпадает, значит, решение верное.

Ответ: \( x = -4 \).