21. (самост.) Боковое ребро пирамиды разделено на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Sосн = 400см². Найдите площади сечений.

Когда боковое ребро пирамиды разделено на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию, образуются подобные пирамиды. Площади сечений будут относиться как квадраты коэффициентов подобия.

Пусть высота пирамиды равна H, и боковое ребро равно L.

Точки деления бокового ребра находятся на расстояниях $$\frac{1}{4}L$$, $$\frac{2}{4}L$$, $$\frac{3}{4}L$$ от вершины.

Если плоскости параллельны основанию, то подобные пирамиды, отсекаемые этими плоскостями, будут иметь высоты, пропорциональные длинам боковых ребер от вершины. Коэффициенты подобия (отношение высот малых пирамид к высоте большой пирамиды) будут $$\frac{1}{4}$$, $$\frac{2}{4}$$, $$\frac{3}{4}$$.

Площади сечений (S1, S2, S3) будут относиться к площади основания (Sосн) как квадраты коэффициентов подобия:

1. Первое сечение (ближе к вершине): Коэффициент подобия $$k_1 = \frac{1}{4}$$.
   Площадь $$S_1 = S_{осн} \times k_1^2 = 400 \times (\frac{1}{4})^2 = 400 \times \frac{1}{16} = 25$$ см².
2. Второе сечение: Коэффициент подобия $$k_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.
   Площадь $$S_2 = S_{осн} \times k_2^2 = 400 \times (\frac{1}{2})^2 = 400 \times \frac{1}{4} = 100$$ см².
3. Третье сечение: Коэффициент подобия $$k_3 = \frac{3}{4}$$.
   Площадь $$S_3 = S_{осн} \times k_3^2 = 400 \times (\frac{3}{4})^2 = 400 \times \frac{9}{16} = 25 \times 9 = 225$$ см².

Ответ: 25 см², 100 см², 225 см²