22. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны 6 см. третья сторона 8 см. Боковые ребра равны между собой и каждое равно 9 см. определить объем пирамиды.

Дано:

• Пирамида.
• Основание - равнобедренный треугольник ABC.
• AB = BC = 6 см, AC = 8 см.
• Боковые ребра SA = SB = SC = 9 см.

Найти: Объем пирамиды (V).

Решение:

1. Находим площадь основания (S_осн):
   1. Так как треугольник равнобедренный, найдем его высоту, проведенную к основанию AC. Пусть BD - высота. В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам.
   2. AD = DC = AC/2 = 8/2 = 4 см.
   3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

      \[ BD^2 = AB^2 - AD^2 \)

      \[ BD^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 \)

      \[ BD = \(\sqrt{20}\) = 2\(\sqrt{5}\) \) см.

   4. Площадь треугольника ABC:

      \[ S_{осн} = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) AC \(\cdot\) BD = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 8 \(\cdot\) 2\(\sqrt{5}\) = 8\(\sqrt{5}\) \) см².

2. Находим высоту пирамиды (H):
   1. Так как боковые ребра равны, вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания.
   2. Найдем радиус описанной окружности (R) для треугольника ABC. Формула:

      \[ R = \(\frac{abc}\){4S_{осн}} \)

      где a, b, c - стороны треугольника, $$S_{осн}$$ - площадь основания.

   3. \[ R = \(\frac{6 \cdot 6 \cdot 8}\){4 \(\cdot\) 8\(\sqrt{5}\)} = \(\frac{288}\){32\(\sqrt{5}\)} = \(\frac{9}\){\(\sqrt{5}\)} = \(\frac\){9\(\sqrt{5}\)}{5} \) см.

   4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (9 см), радиусом описанной окружности (R) и высотой пирамиды (H). По теореме Пифагора:

      \[ H^2 + R^2 = (боковое ребро)^2 \)

      \[ H^2 = 9^2 - \(\left\)\(\frac{9\sqrt{5}}{5}\right\)^2 \)

      \[ H^2 = 81 - \(\frac{81 \cdot 5}{25}\) = 81 - \(\frac{81}{5}\) = 81 \(\left\)\(1 - \frac{1}{5}\right\) = 81 \(\cdot\) \(\frac{4}{5}\) \)

      \[ H = \(\sqrt\){\(\frac{81 \cdot 4}{5}\)} = \(\frac{9 \cdot 2}\){\(\sqrt{5}\)} = \(\frac{18}\){\(\sqrt{5}\)} = \(\frac\){18\(\sqrt{5}\)}{5} \) см.

3. Находим объем пирамиды (V):

   \[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) S_{осн} \(\cdot\) H \)

   \[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 8\(\sqrt{5}\) \(\cdot\) \(\frac\){18\(\sqrt{5}\)}{5} \)

   \[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 8 \(\cdot\) \(\frac{18 \cdot 5}{5}\) = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 8 \(\cdot\) 18 \)

   \[ V = 8 \(\cdot\) 6 = 48 \) см³.

Ответ: 48 см³