21. Тип 3 № 93 i

Решение:

Найдем значение выражения \( \left( \frac{a+2b}{a^2-2ab} - \frac{1}{a} \right) : \frac{b}{2b-a} \) при \( a = 1.6, b = \sqrt{2}-1 \).

1. Упростим первое слагаемое в скобках:

\(\begin{align*}\) \(\frac{a+2b}{a^2-2ab}\) &= \(\frac{a+2b}{a(a-2b)}\) \(\end{align*}\)

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\begin{align*}\) \(\frac{a+2b}{a(a-2b)}\) - \(\frac{1}{a}\) &= \(\frac{a+2b}{a(a-2b)}\) - \(\frac{a-2b}{a(a-2b)}\) \\ &= \(\frac{a+2b - (a-2b)}{a(a-2b)}\) \\ &= \(\frac{a+2b-a+2b}{a(a-2b)}\) \\ &= \(\frac{4b}{a(a-2b)}\) \(\end{align*}\)

Теперь выполним деление:

\(\begin{align*}\) \(\frac{4b}{a(a-2b)}\) : \(\frac{b}{2b-a}\) &= \(\frac{4b}{a(a-2b)}\) \(\cdot\) \(\frac{2b-a}{b}\) \\ &= \(\frac{4b}{a(-(2b-a))}\) \(\cdot\) \(\frac{2b-a}{b}\) \\ &= \(\frac{4b}{a}\) \(\cdot\) \(\frac{-1}{b}\) \\ &= -\(\frac{4}{a}\) \(\end{align*}\)

Подставим значение \( a = 1.6 \):

\(\begin{align*}\) -\(\frac{4}{1.6}\) &= -\(\frac{40}{16}\) \\ &= -\(\frac{5}{2}\) \\ &= -2.5 \(\end{align*}\)

Ответ: \( -2.5 \).