21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые AB и CD скрещиваются.

Прямые AB и CD не могут пересекаться: точка пересечения принадлежала бы плоскости ABC и плоскости ABD. Эти плоскости различны и имеют общую прямую AB, поэтому их пересечение — AB. Тогда точка пересечения AB с CD принадлежала бы AB, а значит, C или D лежала бы на AB, что невозможно для вершин невырожденных треугольников.

Прямые AB и CD также не параллельны. Если бы они были параллельны, через прямую AB и точку C проходила бы плоскость, содержащая CD. Тогда эта плоскость содержала бы A, B, C, D, и оба треугольника лежали бы в одной плоскости — противоречие условию.

Итак, прямые AB и CD не пересекаются и не параллельны. Следовательно, они скрещиваются.

Что и требовалось доказать.