21. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°. Пусть CH — высота, CD — биссектриса. Угол между ними равен 14°, то есть |угол DCH| = 14°.

Биссектриса CD делит угол C пополам: угол ACD = угол BCD = 90° / 2 = 45°.

Высота CH делит угол C на два угла: ACD и BCD. Так как угол A < угол B (меньший угол лежит против меньшей стороны), то биссектриса CD будет ближе к стороне BC, а высота CH — к стороне AC. Значит, угол HCD = 14°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол ACH = угол ACD - угол HCD = 45° - 14° = 31°.

В прямоугольном треугольнике ACH, угол CAH = 90° - угол ACH = 90° - 31° = 59°.

Теперь рассмотрим углы треугольника ABC:

Угол A = 59°.

Угол B = 90° - угол A = 90° - 59° = 31°.

Меньший угол треугольника ABC — это угол B = 31°.

Ответ: 31.