21. За круглый стол на 11 стул в случайном порядке рассаживаются 9 маль- чиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.

Решение:

Общее число способов рассадить 11 человек за круглым столом равно \( (11-1)! = 10! \).

Чтобы найти число случаев, когда девочки не сидят рядом, найдем общее число случаев и вычтем случаи, когда они сидят рядом.

Число случаев, когда девочки сидят рядом:

1. Рассматриваем пару девочек как один объект. Тогда у нас 9 мальчиков + 1 пара девочек = 10 объектов.
2. Число способов рассадить 10 объектов за круглым столом: \( (10-1)! = 9! \).
3. Внутри пары девочки могут меняться местами: \( 2! \) способами.
4. Общее число случаев, когда девочки сидят рядом: \( 9! \times 2 \).

Вероятность того, что девочки сидят рядом:

\[ P(\text{рядом}) = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{9! \times 2}{10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]

Вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах, равна:

\[ P(\text{не рядом}) = 1 - P(\text{рядом}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]

Ответ: \( \frac{4}{5} \)