20. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.

Решение:

Общее число мест за столом: \( 9 \).

Количество мальчиков: \( 7 \).

Количество девочек: \( 2 \).

Общее количество способов рассадить 9 человек на 9 стульев равно \( 9! \).

Чтобы девочки оказались на соседних местах, будем рассматривать их как единый блок. Этот блок можно расположить на \( 9 \) местах (например, места 1-2, 2-3, ..., 9-1).

Внутри этого блока девочки могут поменяться местами: \( 2! \) способами.

Оставшиеся \( 7 \) мальчиков можно рассадить на оставшиеся \( 7 \) мест \( 7! \) способами.

Количество благоприятных исходов (девочки на соседних местах): \( 9 \) (позиций для блока) \( \times 2! \) (перестановка девочек) \( \times 7! \) (рассадка мальчиков) = \( 9 \times 2 \times 7! \).

Вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах:

\[ P(\text{девочки рядом}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{9 \times 2 \times 7!}{9!} = \frac{9 \times 2 \times 7!}{9 \times 8 \times 7!} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \)