211. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево эксперимента. Укажите в дереве событие A и найдите его вероятность, если событие A состоит в том, что: а) потребуется ровно два броска; б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл; в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился в первый раз; г) первые четыре броска оканчиваются решкой.

Обозначим орла буквой О, решку — Р. На каждом шаге вероятности О и Р равны \(1/2\); после первого О эксперимент завершается. В дереве ветвь Р продолжается, а ветвь О заканчивается. Для событий, относящихся к первым четырём броскам, дерево можно записать так:

Начало → О (стоп) или Р → О (стоп) или Р → О (стоп) или Р → О (стоп) или Р → О или Р.

1. Ровно два броска: исходы РО. Поэтому \(P(A)=\frac12\cdot\frac12=\frac14\).
2. Три решки, затем орёл: исход РРРО. Поэтому \(P(A)=(\frac12)^4=\frac1{16}\).
3. Первый орёл появляется на третьем или четвёртом броске: исходы РРО и РРРО. События несовместны, поэтому \(P(A)=(\frac12)^3+(\frac12)^4=\frac18+\frac1{16}=\frac3{16}\).
4. Первые четыре броска — решки: вероятность последовательности РРРР равна \((\frac12)^4=\frac1{16}\). После этих четырёх решек эксперимент продолжается.

Ответ: а) \(1/4\); б) \(1/16\); в) \(3/16\); г) \(1/16\).