214. Решите уравнения: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x^2-2}}=4$; 4) $0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 214. Решите уравнения: 1) $3^{x^2+x-12}=1$; 2) $2^{x^2-7x+10}=1$; 3) $2^{\frac{x-1}{x^2-2}}=4$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку основание $3\ne1$, показатель равен нулю: $x^2+x-12=0$. Разложим: $(x+4)(x-3)=0$. Отсюда $x=-4$ или $x=3$.
Поскольку основание $2\ne1$, $x^2-7x+10=0$. Имеем $(x-2)(x-5)=0$, поэтому $x=2$ или $x=5$.
Область допустимых значений: $x^2-2\ne0$. Так как $4=2^2$, при одинаковом основании получаем $\frac{x-1}{x^2-2}=2$. Тогда $x-1=2x^2-4$, то есть $2x^2-x-3=0=(2x-3)(x+1)$. Кандидаты: $x=\frac32$ и $x=-1$; оба допустимы.
ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne-1$. Представим $0{,}5=2^{-1}$ и $4=2^2$: $2^{-1/x}=2^{2/(x+1)}$. Приравниваем показатели: $-1/x=2/(x+1)$. Перемножая крест-накрест, получаем $-(x+1)=2x$, откуда $x=-\frac13$, что входит в ОДЗ.

Ответ: 1) $-4,3$; 2) $2,5$; 3) $-1,\frac32$; 4) $-\frac13$.

214. Решите уравнения: 1) \(3^{x^2+x-12}=1\); 2) \(2^{x^2-7x+10}=1\); 3) \(2^{\frac{x-1}{x^2-2}}=4\); 4) \(0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}\).