216. Решите уравнения: 1) $10^x=\sqrt[3]{100}$; 2) $10^x=\sqrt[5]{10000}$; 3) $225^{2x^2-24}=15$; 4) $10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}$; 5) $(\sqrt{10})^x=10^{x^2-x}$; 6) $100^{x^2-1}=10^{1-5x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 216. Решите уравнения: 1) $10^x=\sqrt[3]{100}$; 2) $10^x=\sqrt[5]{10000}$; 3) $225^{2x^2-24}=15$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

$\sqrt[3]{100}=10^{2/3}$, поэтому $10^x=10^{2/3}$ и $x=\frac23$.
$\sqrt[5]{10000}=10^{4/5}$, поэтому $10^x=10^{4/5}$ и $x=\frac45$.
Поскольку $225=15^2$, получаем $15^{4x^2-48}=15^1$. Приравниваем показатели: $4x^2-48=1$, откуда $x^2=\frac{49}{4}$ и $x=\pm\frac72$.
$\sqrt[4]{10000}=10$, поэтому правая часть равна $\frac1{10}=10^{-1}$. Следовательно, $x=-1$.
Запишем $\sqrt{10}=10^{1/2}$: $10^{x/2}=10^{x^2-x}$. Тогда $\frac{x}{2}=x^2-x$, то есть $x(x-\frac32)=0$. Получаем $x=0$ или $x=\frac32$.
Так как $100=10^2$, уравнение равносильно уравнению $10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}$. Тогда $2x^2+5x-3=0$, откуда $x=\frac12$ или $x=-3$.

Ответ: 1) $\frac23$; 2) $\frac45$; 3) $-\frac72,\frac72$; 4) $-1$; 5) $0,\frac32$; 6) $-3,\frac12$.

216. Решите уравнения: 1) \(10^x=\sqrt[3]{100}\); 2) \(10^x=\sqrt[5]{10000}\); 3) \(225^{2x^2-24}=15\); 4) \(10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}\); 5) \((\sqrt{10})^x=10^{x^2-x}\); 6) \(100^{x^2-1}=10^{1-5x}\).