217. Решите уравнения: 1) $2^{x^2}\cdot\left(\frac12\right)^{\frac14x}=\sqrt[4]{8}$; 2) $5^{0{,}1x}\cdot\left(\frac15\right)^{-0{,}06}=5^{x^2}$; 3) $\left(\frac12\right)^{\sqrt{1-x}}\cdot\left(\frac12\right)^{-1}=\left(\frac12\right)^{2x}$; 4) $0{,}7^{\sqrt{x+12}}\cdot0{,}7^{-2}=0{,}7^{\sqrt{x}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 217. Решите уравнения: 1) $2^{x^2}\cdot\left(\frac12\right)^{\frac14x}=\sqrt[4]{8}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем обе части к основанию 2: $\sqrt[4]{8}=2^{3/4}$, а $(\frac12)^{x/4}=2^{-x/4}$. Приравниваем показатели:
$x^2-\frac{x}{4}=\frac34$, то есть $4x^2-x-3=0$.
$(x-1)(4x+3)=0$, поэтому $x=1$ или $x=-\frac34$.
Так как $(\frac15)^{-0{,}06}=5^{0{,}06}$, имеем $5^{0{,}1x+0{,}06}=5^{x^2}$. Приравниваем показатели:
$x^2-0{,}1x-0{,}06=0$. Корни уравнения: $x=0{,}3$ и $x=-0{,}2$.
Область допустимых значений: $x\le1$. Основания равны и не равны 1, поэтому $\sqrt{1-x}-1=2x$, или $\sqrt{1-x}=2x+1$. Правая часть должна быть неотрицательной, следовательно, $x\ge-\frac12$.
Возводим в квадрат: $1-x=(2x+1)^2$, откуда $x(4x+5)=0$. Из найденных корней условиям удовлетворяет только $x=0$ (корень $-\frac54$ недопустим).
Область допустимых значений: $x\ge0$. Приравниваем показатели: $\sqrt{x+12}-2=\sqrt{x}$, то есть $\sqrt{x+12}=\sqrt{x}+2$.
Возводим в квадрат: $x+12=x+4\sqrt{x}+4$, откуда $\sqrt{x}=2$ и $x=4$. Это значение входит в область допустимых значений.

Ответ: 1) $1,-\frac34$; 2) $0{,}3,-0{,}2$; 3) $0$; 4) $4$.