22. (3 балла). Решите уравнение x + sqrt(x+24) = 14

Решение:

1. Изолируем корень: \( \sqrt{x+24} = 14 - x \).
2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. При этом нужно учесть, что правая часть должна быть неотрицательной: \( 14 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 14 \).
3. \( (\sqrt{x+24})^2 = (14 - x)^2 \)
4. \( x+24 = 196 - 28x + x^2 \).
5. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 28x + 196 - x - 24 = 0 \).
6. \( x^2 - 29x + 172 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 172 = 841 - 688 = 153 \).
8. Корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
9. \( x_1 = \frac{29 + \sqrt{153}}{2} \) и \( x_2 = \frac{29 - \sqrt{153}}{2} \).
10. Проверим условие \( x \le 14 \).
11. \( \sqrt{153} \) приблизительно равно 12.37.
12. \( x_1 \approx \frac{29 + 12.37}{2} = \frac{41.37}{2} \approx 20.68 \). Это значение больше 14, поэтому \( x_1 \) не является корнем исходного уравнения.
13. \( x_2 \approx \frac{29 - 12.37}{2} = \frac{16.63}{2} \approx 8.315 \). Это значение меньше 14, поэтому \( x_2 \) является корнем исходного уравнения.
14. Проверка для \( x_2 \): \( x = \frac{29 - \sqrt{153}}{2} \).
15. \( \frac{29 - \sqrt{153}}{2} + \sqrt{\frac{29 - \sqrt{153}}{2} + 24} = 14 \)
16. \( \sqrt{\frac{29 - \sqrt{153} + 48}{2}} = 14 - \frac{29 - \sqrt{153}}{2} \)
17. \( \sqrt{\frac{77 - \sqrt{153}}{2}} = \frac{28 - 29 + \sqrt{153}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{153}}{2} \)
18. Возводим в квадрат: \( \frac{77 - \sqrt{153}}{2} = \frac{(-1 + \sqrt{153})^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{153} + 153}{4} = \frac{154 - 2\sqrt{153}}{4} = \frac{77 - \sqrt{153}}{2} \). Равенство верно.

Ответ: \( x = \frac{29 - \sqrt{153}}{2} \).