22. (3 балла). Решите уравнение x+√x+24=14

Решение:

1. Выделим корень из уравнения: \( \sqrt{x+24} = 14 - x \).
2. Для существования корня из \( x+24 \) необходимо, чтобы \( x+24 \ge 0 \), то есть \( x \ge -24 \).
3. Также, так как корень равен \( 14-x \), то \( 14-x \ge 0 \), то есть \( x \le 14 \).
4. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+24})^2 = (14-x)^2 \)
5. \( x+24 = 196 - 28x + x^2 \)
6. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 28x - x + 196 - 24 = 0 \)
7. \( x^2 - 29x + 172 = 0 \)
8. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 172 = 841 - 688 = 153 \)
9. Найдем корни уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm \sqrt{153}}{2} \)
10. \( \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17} \)
11. \( x_1 = \frac{29 + 3\sqrt{17}}{2} \) и \( x_2 = \frac{29 - 3\sqrt{17}}{2} \)
12. Проверим корни, подставив их в исходное уравнение или проверив условия \( x \ge -24 \) и \( x \le 14 \).
13. \( \sqrt{17} \approx 4.12 \)
14. \( x_1 \approx \frac{29 + 3 \times 4.12}{2} = \frac{29 + 12.36}{2} = \frac{41.36}{2} = 20.68 \). Этот корень не удовлетворяет условию \( x \le 14 \).
15. \( x_2 \approx \frac{29 - 3 \times 4.12}{2} = \frac{29 - 12.36}{2} = \frac{16.64}{2} = 8.32 \). Этот корень удовлетворяет условиям \( x \ge -24 \) и \( x \le 14 \).
16. Проверим \( x_2 = 8.32 \): \( 8.32 + \sqrt{8.32 + 24} = 8.32 + \sqrt{32.32} \approx 8.32 + 5.68 = 14 \).
17. Точный корень: \( x = \frac{29 - 3\sqrt{17}}{2} \).

Ответ: \( x = \frac{29 - 3\sqrt{17}}{2} \).