22.9. Три маляра красили забор. Сначала первый маляр проработал половину времени, необходимого двум другим для того, чтобы покрасить весь забор, если они будут работать вдвоём. Затем второй маляр проработал половину времени, необходимого первому и третьему для того, чтобы покрасить весь забор, если они будут работать вдвоём. Затем третий маляр проработал половину времени, необходимого первому и второму для того, чтобы покрасить весь забор, если они будут работать вдвоём. В результате весь забор оказался покрашен. Во сколько раз быстрее был бы покрашен забор, если бы все три маляра сразу работали вместе?

Обозначим производительности маляров через \(a\), \(b\) и \(c\), а их сумму — через \(S=a+b+c\). За половину времени, которое нужно двум малярам, чтобы покрасить забор, первый выполняет работу \(\frac{a}{2(b+c)}\). Аналогично, второй выполняет \(\frac{b}{2(a+c)}\), а третий — \(\frac{c}{2(a+b)}\).

1. Так как забор покрашен полностью, сумма выполненных ими долей равна 1: \(\frac12\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=1\). Следовательно, сумма выражений в скобках равна 2.
2. Время последовательной работы равно \(T=\frac12\left(\frac1{b+c}+\frac1{a+c}+\frac1{a+b}\right)\). Поскольку \(b+c=S-a\), получаем \(ST=\frac12\left(\frac{S}{S-a}+\frac{S}{S-b}+\frac{S}{S-c}\right)\).
3. Используем равенство \(\frac{S}{S-a}=1+\frac{a}{b+c}\) и аналогичные равенства для остальных слагаемых. Тогда \(ST=\frac12(3+2)=\frac52\).
4. Если бы маляры работали вместе, время составило бы \(T_{\text{вместе}}=1/S\). Поэтому \(\frac{T}{T_{\text{вместе}}}=ST=\frac52=2,5\).

Ответ: вместе маляры покрасили бы забор в 2,5 раза быстрее.