22. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма провели две произвольные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами являются вершинами нового параллелограмма. (рис.)

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей исходного параллелограмма. Через \(O\) проведены две прямые. Пусть первая прямая пересекает стороны в точках \(A_1\) и \(C_1\), а вторая — в точках \(B_1\) и \(D_1\).

1. Точка \(O\) является центром симметрии исходного параллелограмма.
2. При центральной симметрии относительно \(O\) каждая точка стороны переходит в точку противоположной стороны. Поэтому \(A_1\) и \(C_1\) симметричны относительно \(O\), а \(B_1\) и \(D_1\) также симметричны относительно \(O\).
3. Следовательно, отрезки \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) имеют общую середину \(O\).
4. В четырёхугольнике \(A_1B_1C_1D_1\) диагонали пересекаются и делятся пополам.
5. Значит, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: точки пересечения двух прямых со сторонами исходного параллелограмма являются вершинами нового параллелограмма.