22. Постройте график функции у = (0,75x²+0,75) · |x| / x+1. Определите, при каких значениях т прямая у = т не имеет с графиком ни одной общей точки.

Функция: y = (0.75(x² + 1)) * |x| / (x+1)

При x ≥ 0, y = 0.75x(x² + 1) / (x+1)

При x < 0, y = -0.75x(x² + 1) / (x+1)

График функции имеет разрыв при x = -1.

При x → -1⁺, y → ∞.

При x → -1⁻, y → -∞.

Функция не определена при x = -1.

При x = 0, y = 0.

Асимптоты: нет.

Максимумы и минимумы: нужно исследовать производную.

При y = m не имеет общих точек, когда m находится вне диапазона значений функции.

Исследуя график, можно увидеть, что функция стремится к бесконечности и минус бесконечности.

Нужно найти локальные экстремумы.

y' = 0.75 * [(3x³+3x+x⁴+x)/(x+1)²]

y' = 0.75 * [(x⁴+3x³+4x)/(x+1)²]

x(x³+3x²+4)/(x+1)² = 0

x=0 или x³+3x²+4=0

x=-2 является корнем x³+3x²+4=0, т.к. (-2)³+3(-2)²+4 = -8+12+4=8

x³+3x²+4 = (x+2)(x²+x+2)

x²+x+2 имеет D = 1-8 = -7, нет действительных корней.

Таким образом, критические точки: x=0 и x=-2.

При x=0, y=0.

При x=-2, y = (0.75(4+1)) * |-2| / (-2+1) = (0.75*5)*2 / (-1) = -15.

При x → ∞, y → ∞.

При x → -∞, y → -∞.

Локальный минимум при x=-2, y=-15.

Локальный максимум при x=0, y=0.

Прямая y=m не имеет общих точек, когда m находится между локальным минимумом и локальным максимумом, но не включая их, и когда m находится вне диапазона значений функции.

Так как функция стремится к ±∞, нас интересует диапазон между экстремумами.

Диапазон значений функции: (-∞, -15] ∪ [0, ∞).

Прямая y=m не имеет общих точек, когда -15 < m < 0.