Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 22. График функции и значения m
Шаг 1: Преобразуем выражение функции.
Дана функция: \( y = 3 - \frac{x+2}{x^2+2x} \)
Вынесем \( x \) за скобки в знаменателе дроби:
\[ x^2 + 2x = x(x+2) \]
Теперь подставим это обратно в функцию:
\[ y = 3 - \frac{x+2}{x(x+2)} \]
Шаг 2: Найдем область определения функции.
Знаменатель не должен быть равен нулю. То есть \( x(x+2) \neq 0 \). Это означает, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \). Эти значения являются 'выколотыми' точками на графике.
Шаг 3: Сократим дробь.
При \( x \neq -2 \) и \( x \neq 0 \) мы можем сократить \( (x+2) \) в числителе и знаменателе:
\[ y = 3 - \frac{1}{x} \]
Таким образом, график нашей функции будет совпадать с графиком функции \( y = 3 - \frac{1}{x} \), но с двумя 'выколотыми' точками в \( x=0 \) и \( x=-2 \).
Шаг 4: Построим график функции \( y = 3 - \frac{1}{x} \).
Это гипербола, которая является преобразованием графика \( y = -\frac{1}{x} \).
- График \( y = \frac{1}{x} \) — гипербола в I и III координатных четвертях.
- График \( y = -\frac{1}{x} \) — гипербола в II и IV координатных четвертях.
- График \( y = 3 - \frac{1}{x} \) — та же гипербола, но смещенная на 3 единицы вверх по оси \( y \).
Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( y \)).
- Горизонтальная асимптота: \( y = 3 \) (прямая, параллельная оси \( x \)).
Шаг 5: Учтем 'выколотые' точки.
Нам нужно найти значения \( y \) для \( x = 0 \) и \( x = -2 \) на графике \( y = 3 - \frac{1}{x} \) и 'выколоть' их.
При \( x = 0 \) функция \( y = 3 - \frac{1}{x} \) не определена (вертикальная асимптота).
При \( x = -2 \):
\[ y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 - (-\frac{1}{2}) = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \]
Значит, точка \( (-2; 3.5) \) будет 'выколота' на графике.
Шаг 6: Определим значения m, при которых прямая y = m не имеет общих точек с графиком.
Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком, если:
- Прямая совпадает с горизонтальной асимптотой. Горизонтальная асимптота функции \( y = 3 - \frac{1}{x} \) — это \( y = 3 \).
- Прямая проходит через 'выколотую' точку. Мы нашли, что 'выколотая' точка — это \( (-2; 3.5) \). Значит, прямая \( y = 3.5 \) также не будет иметь общих точек с нашим графиком.
Ответ: Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m = 3 \) или \( m = 3.5 \).
