22. Постройте график функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=4|x+6|-x^2-11x-30$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Accepted Answer

Раскроем модуль по определению:

При $x<-6$: $y=-4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-15x-54$.

При $x\ge -6$: $y=4(x+6)-x^2-11x-30=-x^2-7x-6$.

Обе части — ветви парабол, направленные вниз. Левая ветвь имеет вершину $(-7.5; 2.25)$; правая — вершину $(-3.5; 6.25)$. В точке $(-6;0)$ ветви соединяются.

Для горизонтальной прямой число пересечений меняется при уровнях, проходящих через вершины ветвей или точку соединения.

При $m=0$ общие точки имеют абсциссы $-9$, $-6$ и $-1$: всего три.
При $m=2.25$ левая ветвь касается прямой в своей вершине $x=-7.5$, а правая ветвь пересекает её в двух точках, поскольку $0<2.25<6.25$. Всего три общие точки.

При $0<m<2.25$ обе ветви пересекаются с прямой по два раза, всего получается четыре точки. При остальных уровнях, кроме $m=0$ и $m=2.25$, получается не ровно три пересечения.

Ответ: $m=0$ или $m=2.25$.

22. Постройте график функции \(y=4|x+6|-x^2-11x-30\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: