22. Постройте график функции y = (4x − 5)/(4x² − 5x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим знаменатель на множители: 4x² − 5x = x(4x − 5). Поэтому график задан формулой y = 1/x, но при x = 0 и x = 5/4 исходная функция не определена. Это гипербола y = 1/x с выколотой точкой (5/4; 4/5).

Для пересечения с прямой y = kx решаем 1/x = kx, где x ≠ 0 и x ≠ 5/4. Получаем kx² = 1. При k ≤ 0 решений нет. При k > 0 обычно есть две точки пересечения. Ровно одна остаётся, когда один из двух корней исключён из области определения: x = 5/4. Тогда k = 1/(5/4)² = 16/25; другой корень −5/4 допустим.

Ответ: \(k=\dfrac{16}{25}\)