22. Постройте график функции $y=\begin{cases}2{,}5x-1, & \text{при }x<2;\\-3{,}5x+11, & \text{при }2\le x\le3;\\x-1, & \text{при }x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}2{,}5x-1, & \text{при }x<2;\\-3{,}5x+11, & \text{при }2\le x\le3;\\x-1, &…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}2{,}5x-1, & \text{при }x<2;\\-3{,}5x+11, & \text{при }2\le x\le3;\\x-1, & \text{при }x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Каждая ветвь функции строго монотонна, поэтому прямая $y=m$ пересекает каждую ветвь не более одного раза.

При $x<2$ значения функции составляют $(-infty,4)$.
При $2\le x\le3$ значения составляют $[0.5,4]$.
При $x>3$ значения составляют $(2,+\infty)$.

Считаем, в скольких из этих промежутков находится $m$. При $0.5\le m\le2$ прямая пересекает первую и вторую ветви. При $m=4$ она пересекает вторую ветвь в точке $(2,4)$ и третью — в точке $(5,4)$. В обоих случаях пересечений ровно два.

Ответ: $m\in[0.5,2]\cup\{4\}$.