22. Постройте график функции: $$y = \begin{cases} 2.5x - 3.5 & \text{при } x<2 \\ -3x - 7.5 & \text{при } 2 \le x \le 3 \\ x - 6 & \text{при } x>3 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Построим первую часть графика: \( y = 2.5x - 3.5 \) при \( x<2 \). Это прямая. При \( x=2 \), \( y = 2.5(2) - 3.5 = 5 - 3.5 = 1.5 \). Точка (2, 1.5) не включается. При \( x=0 \), \( y = -3.5 \).
2. Шаг 2: Построим вторую часть графика: \( y = -3x - 7.5 \) при \( 2 \le x \le 3 \). Это отрезок прямой. При \( x=2 \), \( y = -3(2) - 7.5 = -6 - 7.5 = -13.5 \). Точка (2, -13.5) включается. При \( x=3 \), \( y = -3(3) - 7.5 = -9 - 7.5 = -16.5 \). Точка (3, -16.5) включается.
3. Шаг 3: Построим третью часть графика: \( y = x - 6 \) при \( x>3 \). Это прямая. При \( x=3 \), \( y = 3 - 6 = -3 \). Точка (3, -3) не включается. При \( x=4 \), \( y = 4 - 6 = -2 \).
4. Шаг 4: Теперь определим значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) пересекает график в двух точках. Анализируя построенный график:
   - Если \( m > 1.5 \), прямая пересекает график в одной точке (первая часть).
   - Если \( m = 1.5 \), прямая пересекает график в одной точке (крайняя точка первой части).
   - Если \( -13.5 < m < 1.5 \), прямая пересекает график в двух точках (первая и третья части).
   - Если \( m = -13.5 \), прямая пересекает график в трех точках (крайняя точка первой части, крайняя точка второй части и третья часть).
   - Если \( -16.5 < m < -13.5 \), прямая пересекает график в двух точках (вторая и третья части).
   - Если \( m = -16.5 \), прямая пересекает график в двух точках (крайняя точка второй части и третья часть).
   - Если \( m < -16.5 \), прямая пересекает график в одной точке (третья часть).
5. Шаг 5: Объединяя условия, получаем, что две общие точки будут при \( m \) в интервалах: \( (-13.5, 1.5) \) и \( [-16.5, -13.5) \).
   Объединяя эти интервалы, получаем \( m \) в интервале \( (-16.5, 1.5) \) за исключением \( m = -13.5 \).
   Однако, внимательнее посмотрев на график, увидим, что \( y=1.5 \) дает одну точку.
   \( y=-13.5 \) дает три точки.
   \( y=-16.5 \) дает две точки.
   Для двух точек необходимо, чтобы \( m \) было между максимальным значением первой части (не включая) и минимальным значением третьей части (не включая), а также между значениями второй части.
   Таким образом, \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) или \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).
   При \( m = -16.5 \) - две точки.
   При \( m = 1.5 \) - одна точка.
   При \( m = -13.5 \) - три точки.
   Для двух точек: \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) и \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).
   Корректно: \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) объединяя с \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).
   С учетом того, что \( y=-16.5 \) дает две точки, а \( y=1.5 \) дает одну точку, то для двух точек: \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) и \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).
   Если \( m=-16.5 \) то две точки.
   Если \( m=-13.5 \) то три точки.
   Если \( m=1.5 \) то одна точка.
   Интервал для двух точек: \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) и \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).
   Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) имеет ровно две общие точки с графиком: \( m \) находится в интервале \( (-16.5, 1.5) \) и \( m = -16.5 \).
   То есть \( m \) принадлежит \( [-16.5, 1.5) \) за исключением \( m = -13.5 \).
   Значит \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) U \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).

Ответ: При \( m ange{[-16.5, -13.5)} \) U \( m ange{(-13.5, 1.5)} \).