22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25 & \text{при } x>4, \\ 1{,}5x-3 & \text{при } x\le4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25 & \text{при } x>4, \\ 1{,}5x-3 & \text{при } x\le4.\end{cases}$…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-10x+25 & \text{при } x>4, \\ 1{,}5x-3 & \text{при } x\le4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для $x\le4$ график — часть прямой $y=1.5x-3$, заканчивающаяся включённой точкой $(4;3)$. Для $x>4$ график — часть параболы $y=(x-5)^2$; точка $(4;1)$ не входит в график.

На графике ниже прямая показана сплошной линией, парабола — отдельной ветвью; пустой кружок обозначает исключённую точку $(4;1)$.

Считаем точки пересечения с каждой частью графика. При $m=0$ прямая пересекает линейную часть при $x=2$, а параболу — при $x=5$: всего две точки. При $0<m<1$ есть одна точка на прямой и две на параболе: всего три. При $1\le m\le3$ есть одна точка на прямой и одна на параболе: всего две. При остальных значениях $m$ получается одна точка.

Ответ: $m=0$ или $1\le m\le3$.