22 Постройте график функции y = \( \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) при \( x < 2 \) и \( y = -6x + 11 \) при \( x \ge 2 \).

Решение:

График состоит из двух частей.

Часть 1: \( y = -6x + 11 \) при \( x \ge 2 \)

Это линейная функция. Найдем две точки для построения:

• При \( x = 2 \): \( y = -6(2) + 11 = -12 + 11 = -1 \). Точка (2, -1).
• При \( x = 3 \): \( y = -6(3) + 11 = -18 + 11 = -7 \). Точка (3, -7).

Это будет луч, исходящий из точки (2, -1) и направленный вниз.

Часть 2: \( y = \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) при \( x < 2 \)

Преобразуем выражение:

\[ y = \frac{2(x^2 + 3) - 6x + 11 - 6}{x^2 + 3} = 2 + \frac{-6x + 5}{x^2 + 3} \]

Найдем точки для построения:

• При \( x = 1 \): \( y = \frac{2(1)^2 - 6(1) + 11}{1^2 + 3} = \frac{2 - 6 + 11}{4} = \frac{7}{4} = 1.75 \). Точка (1, 1.75).
• При \( x = 0 \): \( y = \frac{2(0)^2 - 6(0) + 11}{0^2 + 3} = \frac{11}{3} \approx 3.67 \). Точка (0, 11/3).
• При \( x = -1 \): \( y = \frac{2(-1)^2 - 6(-1) + 11}{(-1)^2 + 3} = \frac{2 + 6 + 11}{4} = \frac{19}{4} = 4.75 \). Точка (-1, 4.75).
• При \( x = -2 \): \( y = \frac{2(-2)^2 - 6(-2) + 11}{(-2)^2 + 3} = \frac{2(4) + 12 + 11}{4 + 3} = \frac{8 + 12 + 11}{7} = \frac{31}{7} \approx 4.43 \). Точка (-2, 31/7).

В точке \( x=2 \) первая функция принимает значение \( y = -1 \). Вторая функция стремится к \( \frac{2(2)^2 - 6(2) + 11}{2^2 + 3} = \frac{8 - 12 + 11}{7} = \frac{7}{7} = 1 \) при \( x \to 2 \).

Ответ: График функции состоит из части параболы \( y = \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) для \( x < 2 \) и луча \( y = -6x + 11 \) для \( x \ge 2 \), начинающегося в точке (2, -1).