23 Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Для решения этой задачи необходимо построить график функции \( y = \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) при \( x < 2 \) и \( y = -6x + 11 \) при \( x \ge 2 \).

Из графика, построенного в предыдущем задании, видно:

• Часть графика \( y = -6x + 11 \) при \( x \ge 2 \) — это луч, начинающийся в точке (2, -1) и идущий вниз.
• Часть графика \( y = \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) при \( x < 2 \) — это кривая, которая подходит к точке (2, 1) (не включая ее) и идет вверх при уменьшении \( x \).

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать обе части графика.

Сначала рассмотрим правую часть графика (луч \( y = -6x + 11 \) при \( x \ge 2 \)). Этот луч начинается в точке (2, -1) и уходит вниз. Любая горизонтальная прямая \( y = m \), где \( m < -1 \), пересечет этот луч ровно один раз.

Теперь рассмотрим левую часть графика (кривая \( y = \frac{2x^2 - 6x + 11}{x^2 + 3} \) при \( x < 2 \)). Эта часть графика подходит к значению \( y = 1 \) при \( x \to 2 \) и имеет локальный максимум. Из графика видно, что максимальное значение на этой ветви достигается при \( x < 2 \).

Для того чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки, она должна пересекать:

1. Левую ветвь графика (при \( x < 2 \)) один раз.
2. Правую ветвь графика (при \( x \ge 2 \)) один раз.

Если \( m = 1 \), то прямая \( y = 1 \) пересечет левую часть графика в одной точке (когда \( x \to 2 \), \( y \to 1 \)), но не будет пересекать правую часть (так как там \( y ≤ -1 \)).

Если \( m = -1 \), то прямая \( y = -1 \) будет касаться графика в точке (2, -1), но не будет пересекать левую часть графика, где \( y > 1 \).

Рассмотрим значения \( m \) такие, что \( m < -1 \). Прямая \( y = m \) пересечет правую часть (луч) ровно один раз. Для того чтобы она пересекла левую часть графика ровно один раз, \( m \) должно быть меньше локального максимума левой ветви. Если \( m \) меньше максимального значения левой ветви (которое больше 1) и \( m < -1 \), то \( y=m \) пересечет левую ветвь ровно один раз. Таким образом, если \( m < -1 \), то у нас будет ровно две точки пересечения.

Ответ: \( m < -1 \)